Question

2．平面直角坐標系xOy中，已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{1}{2}$，左、右焦點分別是F₁，F₂，以F₁為圓心以3為半徑的圓與以F₂為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C上一動點P（x₀，y₀）（y₀≠0）的直線l：$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1，過F₂與x軸垂直的直線記為l₁，右準線記為l₂；
①設直線l與直線l₁相交于點M，直線l與直線l₂相交于點N，證明$\frac{M{F}_{2}}{N{F}_{2}}$恒為定值，并求此定值．
②若連接F₁P并延長與直線l₂相交于點Q，橢圓C的右頂點A，設直線PA的斜率為k₁，直線QA的斜率為k₂，求k₁•k₂的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）以F₁為圓心以3為半徑的圓與以F₂為圓心以1為半徑的圓相交，且交點E在橢圓C上．可得|EF₁|+|EF₂|=3+1=2a，解得a=2．又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，解得c，b²，即可得到橢圓C的方程；
（2）①直線l₁：x=1，直線l₂：x=4．把x=1代入直線1，解得y，可得M坐標．同理可得N坐標．又${y}_{0}^{2}$=$\frac{3（4-{x}_{0}^{2}）}{4}$，利用兩點之間的距離公式可得$\frac{M{F}_{2}}{N{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$為定值．
②由由$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$，解得${y}_{0}^{2}$=$\frac{3（4-{x}_{0}^{2}）}{4}$．直線l₁的方程為：x=1；直線l₂的方程為：x=4．直線PF₁的方程為：y-0=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$（x+1），由于-1＜x₀＜2，可得$\frac{1}{{x}_{0}+1}$∈（$\frac{1}{3}$，+∞），即可得出k₁k₂，利用函數的性質即可得出．

解答 解：（1）由題意知2a=4，則a=2，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，求得c=1，
b²=a²-c²=3
∴橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．；
（2）①證明：直線l₁：x=1，直線l₂：x=4．
把x=1代入直線1：$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1，解得y=$\frac{3（4-{x}_{0}）}{4}$，
∴M$（{1，\frac{{3（{x_0}-4）}}{{4{y_0}}}}）$，
把x=4代入直線1：$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1方程，解得y=$\frac{3（1-{x}_{0}）}{{y}_{0}}$，
∴N$（{4，\frac{{3{x_0}-3}}{y_0}}）$，
∴$\frac{{M{F_2}}}{{N{F_2}}}=\frac{{3|{\frac{{{x_0}-4}}{{4{y_0}}}}|}}{{\sqrt{{{（{\frac{{3{x_0}-3}}{y_0}}）}^2}+9}}}=\frac{{|{{x_0}-4}|}}{{4\sqrt{{{（{{x_0}-1}）}^2}+{y_0}^2}}}=\frac{{|{{x_0}-4}|}}{{2\sqrt{{x_0}^2-8{x_0}+16}}}=\frac{1}{2}$
②由$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$，解得${y}_{0}^{2}$=3（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$）（-2≤x₀＜2），x₀≠-1．
直線l₁的方程為：x=1；直線l₂的方程為：x=4．
直線PF₁的方程為：y-0=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$（x+1），
令x=4，可得y_Q═$\frac{5{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$．
點Q$（4，\frac{{5{y_0}}}{{{x_0}+1}}）$，
∵${k_1}=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}$，k₂=$\frac{5{y}_{0}}{{2（x}_{0}+1）}$，
∴k₁•k₂=$\frac{y_0}{{{x_0}-2}}×\frac{{5{y_0}}}{{2（{x_0}+1）}}$=$\frac{5{y}_{0}^{2}}{2（{x}_{0}+1）（{x}_{0}-2）}$． 
∵點P在橢圓C上，∴$\frac{{{x_0}^2}}{4}+\frac{{{y_0}^2}}{3}=1$，
∴k₁•k₂=$-\frac{15}{8}×\frac{{{x_0}+2}}{{{x_0}+1}}$=$-\frac{15}{8}×（1+\frac{1}{{{x_0}+1}}）$． 
∵-1＜x₀＜2，
∴$\frac{1}{{x}_{0}+1}$∈（$\frac{1}{3}$，+∞），
∴k₁•k₂＜-$\frac{5}{2}$．
∴k₁•k₂的取值范圍是k₁k₂∈（-∞，-$\frac{5}{2}$）．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、圓的方程、直線與橢圓相交問題、斜率計算公式、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．