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20.已知拋物線y=x2和直線l:y=kx+m(m>0)交于兩點A、B,當$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$時,直線l過定點(0,2);當m=$\frac{1}{4}$時,以AB為直徑的圓與直線$y=-\frac{1}{4}$相切.

分析 將直線代入拋物線方程,利用韋達定理及向量數量積的坐標運算,即可求得m的值,求得直線l的方程求得直線l過點(0,2);
利用中點坐標公式求得圓M的圓心,求得切點坐標,根據向量的數量積的坐標運算,即可求得m的值.

解答 解:設A(x1,y1),B(x2,y2),$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$,整理得:x2-kx-m=0,
則x1+x2=k,x1x2=-m,
y1y2=(x1x22=m2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=k2+2m,
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$,則x1x2+y1y2=m2-m=2,即m2-m-2=0,解得:m=-1或m=2,
由m>0,則m=2,
直線l:y=kx+2,
∴直線l過點(0,2),
設以AB為直徑的圓的圓心M(x,y),圓M與$y=-\frac{1}{4}$相切于P,
由x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{k}{2}$,則P($\frac{k}{2}$,-$\frac{1}{4}$),
由題意可知:$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0,即(x1-$\frac{k}{2}$,y1+$\frac{1}{4}$)•(x2-$\frac{k}{2}$,y2+$\frac{1}{4}$)=0,
整理得:x1x2-$\frac{k}{2}$(x1+x2)+$\frac{{k}^{2}}{4}$+y1y2+$\frac{1}{4}$(y1+y2)+$\frac{1}{16}$=0,
代入整理得:m2-$\frac{m}{2}$+$\frac{1}{16}$=0,解得:m=$\frac{1}{4}$,
∴當m=$\frac{1}{4}$,以AB為直徑的圓與直線$y=-\frac{1}{4}$相切.
故答案為:(0,2),$\frac{1}{4}$.

點評 本題考查橢圓的性質,直線與拋物線的位置關系,考查韋達定理,中點坐標公式,向量數量積的坐標運算,考查計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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不使用手機使用手機合計
學習成績優秀人數18725
學習成績不優秀人數61925
合計242650
參考數據:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)}$,其中n=a+b+c+d
P(K2≥k00.100.050.0250.0100.0050.001
k02.7063.8415.0246.6357.87910.828
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