Question

20．已知拋物線y=x²和直線l：y=kx+m（m＞0）交于兩點A、B，當$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$時，直線l過定點（0，2）；當m=$\frac{1}{4}$時，以AB為直徑的圓與直線$y=-\frac{1}{4}$相切．

Answer 1

分析 將直線代入拋物線方程，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算，即可求得m的值，求得直線l的方程求得直線l過點（0，2）；
利用中點坐標公式求得圓M的圓心，求得切點坐標，根據向量的數量積的坐標運算，即可求得m的值．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，整理得：x²-kx-m=0，
則x₁+x₂=k，x₁x₂=-m，
y₁y₂=（x₁x₂）²=m²，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=k²+2m，
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$，則x₁x₂+y₁y₂=m²-m=2，即m²-m-2=0，解得：m=-1或m=2，
由m＞0，則m=2，
直線l：y=kx+2，
∴直線l過點（0，2），
設以AB為直徑的圓的圓心M（x，y），圓M與$y=-\frac{1}{4}$相切于P，
由x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{k}{2}$，則P（$\frac{k}{2}$，-$\frac{1}{4}$），
由題意可知：$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，即（x₁-$\frac{k}{2}$，y₁+$\frac{1}{4}$）•（x₂-$\frac{k}{2}$，y₂+$\frac{1}{4}$）=0，
整理得：x₁x₂-$\frac{k}{2}$（x₁+x₂）+$\frac{{k}^{2}}{4}$+y₁y₂+$\frac{1}{4}$（y₁+y₂）+$\frac{1}{16}$=0，
代入整理得：m²-$\frac{m}{2}$+$\frac{1}{16}$=0，解得：m=$\frac{1}{4}$，
∴當m=$\frac{1}{4}$，以AB為直徑的圓與直線$y=-\frac{1}{4}$相切．
故答案為：（0，2），$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查橢圓的性質，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，中點坐標公式，向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．