Question

10．已知平行四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow b$，M為AB中點，N為BD靠近B的三等分點．
（1）用基底$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$表示向量$\overrightarrow{MC}$，$\overrightarrow{NC}$；
（2）求證：M、N、C三點共線．并證明：CM=3MN．

Answer 1

分析 （1）利用向量線性運算，直接計算．
（2）（1）得$\overrightarrow{NC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MC}$⇒$\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MC}$⇒$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MC}$；即可得證．

解答 解：（1）$\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$；
$\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}）+\overrightarrow{AD}$
=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{a}$；
（2）由（1）得$\overrightarrow{NC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MC}$⇒$\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MC}$⇒$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MC}$；
∴M、N、C三點共線．且CM=3MN．

點評 本題考查了向量的線性運算，即向量的基本定理，屬于中檔題