Question

5．已知過點P（-1，0）的直線l與拋物線y²=4x相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點．
（Ⅰ）求直線l傾斜角的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在直線l，使A、B兩點都在以M（5，0）為圓心的圓上，若存在，求出此時直線及圓的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設直線l的方程，代入拋物線方程，利用△＞0，即可求得k的取值范圍，求得直線l傾斜角的取值范圍；
（Ⅱ）設圓M的方程，與拋物線方程聯立，根據韋達定理，即可求得r的值及直線l的斜率k，求得直線及圓的方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知直線l的斜率存在且不為0．
設l：y=k（x+1），則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：ky²-4y+4k=0，
y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，
△=16-4k×4k＞0，解得：-1＜k＜1且k≠0．
∴直線l傾斜角的取值范圍（0，$\frac{π}{4}$）∪（$\frac{3π}{4}$，π）；
（Ⅱ）設⊙M：（x-5）²+y²=r²，（r＞0），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{（x-5）^{2}+{y}^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，則x²-6x+25-r²=0，
∴x₁+x₂=6，
又由（Ⅰ）知y₁y₂=4，∴x₁x₂=1．
∴25-r²=1，∴r²=24，
并且r²=24時，方程的判別式△=36-4×（25-r²）＞0，
由y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=$\frac{4}{k}$，解得：k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴存在定圓M，經過A、B兩點，
其方程為：（x-5）²+y²=24，此時直線l方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+1）．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的應用，圓的標準方程，考查計算能力，屬于中檔題．