Question

16．已知命題p：在x∈[1，2]時，不等式x²+ax-2＞0恒成立；命題q：函數(shù)$f（x）={log_{\frac{1}{3}}}（{x^2}-2ax+3a）$是區(qū)間[1，+∞）上的減函數(shù)．若命題“p或q”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出兩個命題是真命題時的a的范圍，然后求解實數(shù)a的范圍．

解答 解：∵x∈[1，2]時，不等式x²+ax-2＞0恒成立，
∴a＞$\frac{{2-{x^2}}}{x}$=$\frac{2}{x}$-x在x∈[1，2]上恒成立，
令g（x）=$\frac{2}{x}$-x，則g（x）在[1，2]上是減函數(shù)，
∴g（x）_max=g（1）=1，
∴a＞1．即若命題p真，則a＞1．
又∵函數(shù)f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}$（x²-2ax+3a）是區(qū)間[1，+∞）上的減函數(shù)，
∴u（x）=x²-2ax+3a是[1，+∞）上的增函數(shù)，且u（x）=x²-2ax+3a＞0在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤1，u（1）＞0，∴-1＜a≤1，
即若命題q真，則-1＜a≤1．
綜上知，若命題“p或q”是真命題，則a＞-1．

點評 本題考查命題的判斷與應用，復合命題的真假的判斷，考查計算能力．