Question

8．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a．E為棱AA₁的中點，
（1）求三棱錐E-BCD₁與三棱錐A-CDB₁的體積比為．
（2）求三棱錐B-A₁C₁D的體積．

Answer 1

分析 （1）取DD₁的中點F，連接EF，可得EF∥BC，即EF∥面BCD₁，${V}_{E-BC{D}_{1}}={V}_{F-BC{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}{V}_{D-BC{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}{V}_{{D}_{1}BCD}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×a×a=\frac{{a}^{3}}{12}$，V${\;}_{A-CD{B}_{1}}={V}_{{B}_{1}-ADC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×a×a$=$\frac{{a}^{3}}{6}$，即可求解；
（2）三棱錐B-A₁C₁D是棱長為$\sqrt{2}a$的正四面體，利用正四面體的性質(zhì)，計算體積即可．

解答 解：（1）取DD₁的中點F，連接EF，可得EF∥BC，即EF∥面BCD₁
∴${V}_{E-BC{D}_{1}}={V}_{F-BC{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}{V}_{D-BC{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}{V}_{{D}_{1}BCD}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×a×a=\frac{{a}^{3}}{12}$，
V${\;}_{A-CD{B}_{1}}={V}_{{B}_{1}-ADC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×a×a$=$\frac{{a}^{3}}{6}$，
∴三棱錐E-BCD₁與三棱錐A-CDB₁的體積比為1：2；

（2）三棱錐B-A₁C₁D是棱長為$\sqrt{2}a$的正四面體，如圖：
設B在面A₁C₁D的投影為O，則O為等邊三角形的中心，
∴${A}_{1}O=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{2}a=\frac{\sqrt{6}}{3}a$，∴$BO=\sqrt{（\sqrt{2}a）^{2}-（\frac{\sqrt{6}a}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{3}a}{3}$，
三棱錐B-A₁C₁D的體積V=$\frac{1}{3}×{s}_{{A}_{1}{C}_{1}D}×BO$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（\sqrt{2}a）^{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}a=\frac{{a}^{3}}{3}$．

點評 本題考查了等體積法求體積，考查了計算能力，屬于中檔題．