Question

15．已知函數f（x）=sin（ωx-φ），$（ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}）$的圖象經過點$（{\frac{π}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，且相鄰兩條對稱軸的距離為$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式及其在[0，π]上的單調遞增區間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊，若$f（{\frac{A}{2}}）+cosA=\frac{1}{2}$，求∠A的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據相鄰兩條對稱軸的距離為$\frac{π}{2}$，可得周期，從而求出ω，圖象過點$（{\frac{π}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，帶入求出φ，即可求函數f（x）的解析式及其在[0，π]上的單調遞增區間．
（Ⅱ）根據$f（{\frac{A}{2}}）+cosA=\frac{1}{2}$，利用三角函數公式化簡可得∠A的大小．

解答 解：（Ⅰ）由相鄰兩條對稱軸的距離為$\frac{π}{2}$，可得其周期為$T=\frac{2π}{ω}=π$，∴ω=2．
則f（x）=sin（2x-φ）
∵圖象過點$（{\frac{π}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，且$ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}$，坐標帶入：
得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2×$\frac{π}{4}$-φ），即cosφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴φ=$\frac{π}{6}$
那么：函數f（x）的解析式為：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
由$2kπ-\frac{π}{2}＜2x-\frac{π}{6}＜2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z．
可得：$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$
∴x在[0，π]上增區間為$（{0，\frac{π}{3}}）$和$（{\frac{5π}{6}，π}）$．
（Ⅱ）由$f（{\frac{A}{2}}）+cosA=\frac{1}{2}$，可得$sin（{A-\frac{π}{6}}）+cosA=\frac{1}{2}$，
則$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA=\frac{1}{2}$，
得$sin（{A+\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$
由于0＜A＜π，
則$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，
那么：$A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$
∴$A=\frac{2π}{3}$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，確定函數的解析式是解決本題的關鍵．屬于基礎題．