Question

12．已知正四棱錐P-ABCD的五個頂點都在同一個球面上，若該正四棱錐的底面邊長為4，側棱長為$2\sqrt{6}$，則此球的體積為36π．

Answer 1

分析 利用勾股定理求出正四棱錐的高PM，再用射影定理求出球的半徑，代入面積公式計算即可．

解答 解：如圖所示，

設球的半徑為r，正方形的ABCD的對角線的交點為M，
則球心在直線PM上，
MC=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{2}$，
由勾股定理得PM=$\sqrt{{PC}^{2}{-MC}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{6}）}^{2}{-（2\sqrt{2}）}^{2}}$=4，
再由射影定理得PC²=PM×2r，
即24=4×2r，
解得r=3，
所以此球的表面積為4πr²=36π．
故答案為：36π．

點評 本題考查了勾股定理、射影定理的應用以及球的表面積公式問題，是基礎題目．