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7.已知三次函數f(x)=2ax3+6ax2+bx的導函數為f′(x),則函數f(x)與f′(x)的圖象可能是(  )
A.B.C.D.

分析 求函數的導數,結合一元二次函數的圖象以及三次函數的極值關系分別進行判斷即可.

解答 解:函數的導數f′(x)=6ax2+12ax+b,對稱軸為x=-$\frac{12a}{2×6a}$=-1,b=f′(0),
而f(0)=0,
A和D選項中,二次函數f′(x)的對稱軸不是x=-1,不滿足條件.
B.二次函數的函數零點為-4,2,
則-4×2=$\frac{b}{6a}$=-8,即b=-48a,且a>0,
則f′(x)=6ax2+12ax-48a=6a(x2+2x-8)=6a(x-2)(x+4),
由f′(x)>0得x>2或x<-4,此時函數遞增,
由f′(x)<0得-4<x<2,此時函數遞減,
即當x=2時,函數f(x)取得極小值,當x=-4時,函數f(x)取得極大值,故B正確,
C中,二次函數過原點,則f′(0)=0,即b=0,且a>0,
則f′(x)=6ax2+12ax=6ax(x+2),
f′(x)>0得x>0或x<-2,此時函數遞增,
由f′(x)<0得-2<x<0,此時函數遞減,
即當x=0時,函數f(x)取得極小值,當x=-2時,函數f(x)取得極大值,故C錯誤,
故選:B.

點評 本題主要考查函數圖象的判斷和識別,根據一元二次函數的性質結合三次函數的極值的性質是解決本題的關鍵.

練習冊系列答案
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