Question

17．拋物線y²=4x的準線與x軸交于A點，焦點是F，P是位于x軸上方的拋物線上的任意一點，令m=$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$，當m取得最小值時，PA的斜率是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 已知F為拋物線y²=4x的焦點，P（x，y）是該拋物線上的動點，點A是拋物線的準線與x軸的交點，得到PA和拋物線相切時m=$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$最小．

解答 解：由題意可得，焦點F（1，0），準線方程為x=-1．
過點P作PM垂直于準線，M為垂足，
由拋物線的定義可得|PF|=|PM|，
則$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$=$\frac{|PM|}{|PA|}$=sin∠PAM，∠PAM為銳角．
故當∠PAM最小時，則m=$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$最小，故當PA和拋物線相切時，m=$\frac{{|{PF}|}}{{|{PA}|}}$最小，
可設切線方程為y=k（x+1）與y²=4x聯立，消去x，得ky²-4y+4k=0，
所以△=16-16k²=0，
所以k=1或-1，從而PA的斜率為±1，
∵P是位于x軸上方的拋物線上的任意一點，
∴PA的斜率為1
故選：A．

點評 本題主要考查拋物線的定義、性質的簡單應用，直線的斜率公式、利用數形結合進行轉化是解決本題的關鍵．考查學生的計算能力，屬于中檔題．