Question

5．設函數f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）．
（1）當a=1時，求f（x）的單調區間．
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值為2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）已知a=1，ff′（x）=$\frac{（x-\sqrt{2}）（x+\sqrt{2}）}{x（x-2）}$，求解f（x）的單調區間，只需令f′（x）＞0解出單調增區間，令f′（x）＜0解出單調減區間．
（2）區間（0，1]上的最值問題，通過導數得到單調性，結合極值點和端點的比較得到，確定待定量a的值．

解答 解：對函數求導得：f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2-x}$+a，定義域為（0，2）
（1）當a=1時，f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2-x}$=$\frac{（x-\sqrt{2}）（x+\sqrt{2}）}{x（x-2）}$，令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{2}$，
∴當x∈（0，$\sqrt{2}$）時，f′（x）＞0，當x∈（$\sqrt{2}$，2）時，f′（x）＜0，
∴函數f（x）的增區間是$（0，\sqrt{2}）$；減區間是$（\sqrt{2}，2）$．
（2）當$x∈（0，1]，f'（x）=\frac{2-2x}{x（2-x）}+a＞0$，即f（x）在（0，1]上為單調遞增．
最大值在右端點取到f（x）_max=f（1）=a=2．

點評 本題考查了考查利用導數研究函數的單調性，利用導數處理函數最值等知識，屬于中檔題．