Question

16．已知函數$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-2alnx+（a-2）x，a∈R$
（Ⅰ）當a＜0時，討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）證明：當$a≤-\frac{1}{2}$時，對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＞x₁，都有f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導，分母為正，分子結合二次函數圖象及性質，找出函數值為正值、負值的區間，得出函數f（x）的單調區間，
（Ⅱ）構造輔助函數g（x）=f（x）-ax，只要使函數g（x）在定義域內為增函數即可，利用其導函數恒大于等于0可求解a的取值范圍，問題得以證明．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x-$\frac{2a}{x}$+（a-2）=$\frac{{x}^{2}+（a-2）-2a}{x}$=$\frac{（x-2）（x+a）}{x}$
∴（1）當-2＜a＜0時，
若x∈（0，-a），f′（x）＞0，f（x）為增函數，
x∈（-a，2），f′（x）＜0，f（x）為減函數，
x∈（2，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數，
（2）當a=-2時，x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數，
（3）當a＜-2時，x∈（0，2），f′（x）＞0，f（x）為增函數，
x∈（2，-a），f′（x）＜0，f（x）為減函數，
 x∈（-a，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數；
（Ⅱ）證明：對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＞x₁，都有f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁成立．
令g（x）=f（x）-ax，即有g（x）在（0，+∞）為增函數．
又函數g（x）=$\frac{1}{2}$x²-2alnx-2x．
考查函數g′（x）=x-$\frac{2a}{x}$-2=$\frac{{x}^{2}-2x-2a}{x}$=$\frac{（x-1）^{2}-1-2a}{x}$，
要使g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
只要-1-2a≥0，即a≤-$\frac{1}{2}$，
故當$a≤-\frac{1}{2}$時，對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＞x₁，都有f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁成立．

點評 本題考查函數與導數，利用導數研究函數的單調性考查了數學轉化思想方法，訓練了利用構造函數法解決不等式恒成立問題，涉及到了分類討論的思想方法，屬于中檔題．