Question

20．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），曲線C₁：x²+y²=1
（1）設l與C₁相交于A，B兩點，求|AB|．
（2）若曲線C₁上各點的橫坐標壓縮為原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標壓縮為原來的$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得到曲線C₂，設點P是曲線C₂上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）將直線與曲線的方程聯立后求出t的值，由t的幾何意義求出|AB|的值；
（2）由題意求出曲線C₂的參數方程，設出點P的參數形式坐標，將直線l的參數方程化為普通方程，利用點到直線的距離公式表示出點P到直線l的距離，利用兩角和的余弦公式化簡后，由余弦函數的最值求出答案．

解答 解：（1）將直線與曲線的方程聯立得：t²+t=0
解得t₁=-1或t₂=0，
 由t的幾何意義知：|AB|=|t₁-t₂|=1；
（2）由題意知，曲線C₂的參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}cosθ}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ是參數），
則設P（$\frac{1}{2}cosθ$，$\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ$），
因為直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），
所以消去t得直線$l：\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$，
則點P到直線l的距離：d=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ-\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}$ 
=$\frac{|\frac{\sqrt{6}}{2}cos（θ+\frac{π}{4}）-\sqrt{3}|}{2}$，
當$cos（θ+\frac{π}{4}）=1$時，d取最小值為：$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題考查參數方程與普通方程互化，利用參數的幾何意義求弦長，點到直線的距離公式，以及兩角和的余弦公式和余弦函數，考查化簡、變形能力．