Question

1．不等式2x²-axy+3y²≥0對于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． a≤2$\sqrt{2}$
• B． a≤2$\sqrt{6}$
• C． a≤5
• D． a≤$\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 不等式等價變化為a≤$\frac{2{x}^{2}+3{y}^{2}}{xy}$=$\frac{2x}{y}$+$\frac{3y}{x}$，則求出函數Z=$\frac{2x}{y}$+$\frac{3y}{x}$的最小值即可．

解答 解：依題意，不等式2x²-axy+y²≤0等價為a≤$\frac{2{x}^{2}+3{y}^{2}}{xy}$=$\frac{2x}{y}$+$\frac{3y}{x}$，
設t=$\frac{y}{x}$，
∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，
∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{x}$≤1，即$\frac{1}{2}$≤$\frac{y}{x}$≤3，
∴$\frac{1}{2}$≤t≤3，
則Z=$\frac{2x}{y}$+$\frac{3y}{x}$=3t+$\frac{2}{t}$，
∵3t+$\frac{2}{t}$≥2$\sqrt{3t•\frac{2}{t}}$=2$\sqrt{6}$，
當且僅當3t=$\frac{2}{t}$，即t=$\frac{\sqrt{6}}{3}$時取等號，
故a≤2$\sqrt{6}$，
故選：B．

點評 本題主要考查不等式的應用，將不等式恒成立轉化為求函數的最值是解決本題的關鍵，要求熟練掌握函數f（x）=x+$\frac{a}{x}$，a＞0圖象的單調性以及應用．