Question

2．已知橢圓C的對稱中心為坐標原點O，焦點在x軸上，左右焦點分別為F，F，左右頂點分別為A，B，且|F₁F₂|=4，|AB|=4$\sqrt{2}$
（1）求橢圓的方程；
（2）過F₁的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，若△MF₂N的面積為$\frac{16}{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由|F₁F₂|=4，|AB|=4$\sqrt{2}$，建立方程組，求出a=2$\sqrt{2}$，c=2，b=2，由此能求出橢圓的方程．
（2）由F₁（-2，0），設過F₁的直線l的方程為：x+2=my，由$\left\{\begin{array}{l}{x=my-2}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得（m²+2）y²-4my-4=0，利用韋達定理、弦長公式、三角形面積公式，能求出m=±1，由此能求出直線l的方程．

解答 解：（1）∵橢圓C的對稱中心為坐標原點O，焦點在x軸上，
左右焦點分別為F，F，左右頂點分別為A，B，且|F₁F₂|=4，|AB|=4$\sqrt{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2c=4}\\{2a=4\sqrt{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2$\sqrt{2}$，c=2，b=2，
∴橢圓的方程為$：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）由（1）知F₁（-2，0），設過F₁的直線l的方程為：x+2=my，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my-2}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得（m²+2）y²-4my-4=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{4m}{{m}^{2}+2}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{4}{{m}^{2}+2}}\end{array}\right.$，
∵△MF₂N的面積為$\frac{16}{3}$，
∴${S}_{△M{F}_{1}N}$=$\frac{1}{2}×2c×|{y}_{1}-{y}_{2}|$=2$\sqrt{（\frac{4m}{{m}^{2}+2}）^{2}-4×（_\frac{4}{{m}^{2}+2}}）$=$\frac{16}{3}$，
化簡，得2m⁴-m²-1=0，解得m²=1或m²=-$\frac{1}{2}$（舍），
解得m=±1，此時直線l的方程為x-y+2=0，或x+y+2=0．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查橢圓、直線方程、韋達定理、弦長公式、三角形面積公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．