Question

14．已知函數f（x）=x³-3x．
（Ⅰ）求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）=k有3個實根，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的方程，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；
（Ⅱ）問題轉化為y=f（x）和y=k有3個交點，根據f（x）的極大值和極小值求出k的范圍即可．

解答 解：（I）∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3（x-1）（x+1），
令f′（x）=0，解得x=-1或x=1，列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

當x=-1時，有極大值f（-1）=2；
當x=1時，有極小值f（1）=-2．
（II）要f（x）=k有3個實根，
由（I）知：f（1）＜k＜f（-1），
即-2＜k＜2，
∴k的取值范圍是（-2，2）．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．