Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，BC=2AD=4．AB=2BC=2CD=2$\sqrt{5}$，M為棱PC上一點．
（1）求證：平面BDM⊥平面PAD；
（2）當三棱錐P-ABD的體積是三棱錐M-PBD體積的3倍時，求$\frac{PM}{MC}$的值．

Answer 1

分析 （1）推導出AD⊥BD，由平面PAD⊥平面ABCD，得到BD⊥平面PAD，由此能證明平面MBD⊥平面PAD．
（2）三棱錐P-MBD的體積=$\frac{m}{m+1}×$三棱錐P-BCD的體積，V_P-ABD=2V_P-BCD，由三棱錐P-ABD的體積是三棱錐M-PBD體積的3倍，得到V_P-MBD=$\frac{2}{3}{V}_{P-BCD}$，由此能求出$\frac{PM}{MC}$的值．

解答 證明：（1）在△ABD中，∵AD=2，BD=4，AB=2$\sqrt{5}$，
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD，
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD，
∵BD?平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD．
解：（2）設$\frac{PM}{MC}$=m，則PM=mMC，
∴三棱錐P-MBD的體積=$\frac{m}{m+1}×$三棱錐P-BCD的體積，
∵AB=2DC=2$\sqrt{5}$，∴S_△ABD=2S_△BCD，
∴V_P-ABD=2V_P-BCD，
∵三棱錐P-ABD的體積是三棱錐M-PBD體積的3倍，
∴V_P-MBD=$\frac{2}{3}{V}_{P-BCD}$，
∴$\frac{m}{m+1}=\frac{2}{3}$，解得m=2．故$\frac{PM}{MC}$的值為2．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法及應用，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．