Question

13．已知函數f（x）=mlnx+8x-x²在[3，+∞）上單調遞減，則實數m的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，-8）
• B． （-∞，-8]
• C． （-∞，-6）
• D． （-∞，-6]

Answer 1

分析 求出函數的導數，得到m≤2x²-8x在[3，+∞），令h（x）=2x²-8x，x∈[3，+∞），根據函數的單調性求出m的范圍即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{m}{x}$+8-2x=$\frac{-{2x}^{2}+8x+m}{x}$，
令g（x）=-2x²+8x+m，
若函數f（x）=mlnx+8x-x²在[3，+∞）上單調遞減，
則-2x²+8x+m≤0在[3，+∞）成立，
則m≤2x²-8x在[3，+∞）上恒成立，
令h（x）=2x²-8x，x∈[3，+∞），
h′（x）=4x-8＞0，
故h（x）在[3，+∞）遞增，
故h（x）_min=h（3）=-6，
故m≤-6，
故選：D．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．