Question

3．已知函數f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R）．
（1）若f（-1）=0，且對任意實數，恒有f（x）≥0，求a，b的值；
（2）在（1）的條件下，若g（x）=f（x）-kx在[-2，2]上單調函數，求實數k的取值范圍；
（3）若f（x）在R上為偶函數，且F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），當x＞0時}\\{-f（x），當x＜0時}\end{array}\right.$，試判斷F（x）奇偶性．

Answer 1

分析 （1）根據二次函數的性質列方程組解出a，b；
（2）求出g（x）的對稱軸，得出對稱軸與區間[-2，2]的關系，從而得出k的范圍；
（3）利用定義判斷F（x）的奇偶性．

解答 解：（1）由題意可知f（x）為開口向上的二次函數，故a＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}-4a=0}\\{-\frac{b}{2a}=-1}\end{array}\right.$，解得a=1，b=2．
（2）由（1）可知g（x）=x²+（2-k）x+1，
∵g（x）在[-2，2]上是單調函數，
∴$\frac{k-2}{2}$≤-2或$\frac{k-2}{2}$≥2，
解得k≤-2或k≥6．
（3）若f（x）是偶函數，則b=0，
∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+1，x＞0}\\{-a{x}^{2}-1，x＜0}\end{array}\right.$，
若x＞0，則F（x）=ax²+1，F（-x）=-a（-x）²-1=-ax²-1=-F（x），
同理當x＜0時，F（-x）=-F（x），
∴F（x）是奇函數．

點評 本題考查了二次函數的性質，函數奇偶性與單調性的判斷，屬于基礎題．