Question

16．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c且面積為S，滿足S=$\frac{\sqrt{7}}{6}$bccosA
（1）求cosA的值；
（2）若a+c=10，C=2A，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角形面積公式，同角三角函數基本關系式可求tanA的值，結合范圍0＜A＜$\frac{π}{2}$，即可求得cosA的值．
（2）由已知及正弦定理可求c=$\frac{3}{2}$a，進而可求a，c的值，利用三角形內角和定理，兩角和的正弦函數公式求得sinA，sinC，sinB的值，由正弦定理即可求得b的值．

解答 解：（1）∵S=$\frac{\sqrt{7}}{6}$bccosA=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴tanA=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
∴0＜A＜$\frac{π}{2}$，
∴cosA=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}A}}$=$\frac{3}{4}$，
（2）由正弦定理可知，$\frac{c}{a}=\frac{sinC}{sinA}=\frac{sin2A}{sinA}$=2cosA=$\frac{3}{2}$，可得：c=$\frac{3}{2}$a，
∵a+c=10，
∴a=4，c=6，
∵cosA=$\frac{3}{4}$，可得：sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴sinC=sin2A=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，cosC=cos2A=$\frac{1}{8}$，
∴sinB=sin（A+C）=$\frac{5\sqrt{7}}{16}$，
由正弦定理b=$\frac{asinB}{sinA}$=5．

點評 本題主要考查了三角形面積公式，同角三角函數基本關系式，正弦定理，三角形內角和定理，兩角和的正弦函數公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．