Question

已知數列{a_n}的前n項和記為S_n，a₁=2，a_n+1=S_n+n．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）等差數列{b_n}的各項為正，其前n項和為T_n，且T₃=9，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列，
①求{b_n}的通項公式；
②求證：當n≥2時，

1

b12

+

1

b22

+…+

1

bn2

＜

5

4

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）根據數列的遞推關系即可求{a_n}的通項公式；
（2）根據等差數列和等比數列的公式以及利用放縮法即可證明不等式．

解答： 解：（1）∵a_n+1=S_n+n，
∴a_n=S_n-1+n-1，n≥2，
∴兩式相減得到a_n+1-a_n=a_n-1，
則a_n+1=2a_n+1，n≥2
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=2，a_n+1=S_n+n，
∴a₂=S₁+1=2+1=3，
則a₁+1=3，a₂+1=4，
∴當n≥2，a_n+1=4×2^n-2=2ⁿ，
即a_n=2ⁿ-1，n≥2．
∵a₁+1=3，
∴通項公式a_n=

2， n=1 2n-1， n≥2

．
（2）①設{b_n}的公差為d，由T₃=9得，可得b₁+b₂+b₃=9，可得b₂=3，
故可設b₁=3-d，b₃=3+d，
又∵a₁=2，a₂=3，a₃=7，并且a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列，
即5-d，6，10+d，成等比數列，
∴可得（5-d）（10+d）=6²=36，
即d²+5d-14=0
解得d=2，或d=-7，
∵等差數列{b_n}的各項為正，
∴d＞0，
∴d=2，則首項b₁=3-d=3-2=1，
則b_n=1+2（n-1）=2n-1．
②∵b_n=2n-1，
∴b_n²=（2n-1）²．
則

1

bn2

=

1

(2n-1)2

，
∵

1

bn2

=

1

(2n-1)2

=

1

4n2-4n+1

＜

1

4n2-4n

=

1

4

•

1

n(n-1)

=

1

4

（

1

n-1

-

1

n

），n≥2，
∴

1

b12

+

1

b22

+…+

1

bn2

＜1+

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）=1+

1

4

-

1

4n

＜

5

4

點評：本題主要考查遞推數列的應用，利用數列和不等式的綜合，利用放縮法是解決本題的關鍵．