Question

16．已知點A是圓O：x²+y²=4上的一個定點，點B是圓O上的一個動點，若滿足|$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{BO}$|=|$\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{BO}$|，則$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=4．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{BO}$|=|$\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{BO}$|⇒（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{BO}$）²=（$\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{BO}$）²⇒$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BO}$=0，∴AO⊥BO，
∴△AOB是邊長為2的等腰直角三角形，即可求$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AO}$||$\overrightarrow{AB}$|cos45°．

解答 解：由|$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{BO}$|=|$\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{BO}$|⇒（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{BO}$）²=（$\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{BO}$）²⇒$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BO}$=0，∴AO⊥BO，
∴△AOB是邊長為2的等腰直角三角形，則$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AO}$||$\overrightarrow{AB}$|cos45°=2×$2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=4．
故答案為：4

點評 本題考查了向量的平方即為模的平方，考向量數量積的運算，屬于中檔題