Question

4．已知橢圓C₁，拋物線C₂焦點均在x軸上，C₁的中心和C₂頂點均為原點O，從每條曲線上各取兩個點，將其坐標記錄于表中，則C₁的左焦點到C₂的準線之間的距離為（　　）

x	3	-2	4	$\sqrt{2}$
y	$-2\sqrt{3}$	0	-4	$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

• A． $\sqrt{2}-1$
• B． $\sqrt{3}-1$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由表可知：拋物線C₂焦點在x軸的正半軸，設拋物線C₂：y²=2px（p＞0），則有$\frac{{y}^{2}}{x}$=2p（x≠0），將（3，-2$\sqrt{3}$），（4，-4）在C₂上，代入求得2p=4，即可求得拋物線方程，求得準線方程，設橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），把點（-2，0），（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），即可求得橢圓方程，求得焦點坐標，即可求得C₁的左焦點到C₂的準線之間的距離．

解答 解：由表可知：拋物線C₂焦點在x軸的正半軸，設拋物線C₂：y²=2px（p＞0），則有$\frac{{y}^{2}}{x}$=2p（x≠0），
據此驗證四個點知（3，-2$\sqrt{3}$），（4，-4）在C₂上，代入求得2p=4，
∴拋物線C₂的標準方程為y²=4x．則焦點坐標為（1，0），準線方程為：x=-1，
設橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），把點（-2，0），（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{0}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=1}\end{array}\right.$，
∴C₁的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
由c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
左焦點（$\sqrt{3}$，0），
C₁的左焦點到C₂的準線之間的距離$\sqrt{3}$-1，
故選B．

點評 本題考查橢圓與拋物線的標準方程及簡單幾何性質，考查待定系數法的應用，考查計算能力，屬于中檔題．