Question

已知f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數，當x∈[-1，0]時，函數解析式為f（x）=

1

4x

-

b

2x

（b∈R）
（Ⅰ）求b的值，并求出f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最值．

Answer 1

考點：二次函數在閉區間上的最值,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）利用奇函數f（0）=0，即可求出b的值，利用函數的奇偶性直接并求出f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）利用換元法化簡函數為求f（x）為二次函數，然后求解在[0，1]上的最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數，且f（x）在x=0處有意義，
∴f（0）=0，即f（0）═1-b=0．b=1…（3分）
設x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]．
∴f（-x）=

1

4-x

-

1

2-x

=4^x-2^x．
又∵f（-x）=-f（x）
∴-f（x）=4^x-2^x．
∴f（x）=2^x-4^x．
所以，f（x）在[0，1][上的解析式為f（x）=2^x-4^x…（6分）
（Ⅱ）當x∈[0，1]，f（x）=2^x-4^x=2^x-（2^x）²，
∴設t=2^x（t＞0），則f（t）=t-t²．
∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]．
當t=1時，取最大值，最大值為1-1=0．
當t=0時，取最小值為-2．
所以，函數在[0，1]上的最大與最小值分別為0，-2…（12分）

點評：本題考查換元法的應用，函數的奇偶性以及函數的解析式的求法二次函數的閉區間上的最值的求法，考查計算能力．