Question

已知f（log_ax）=

1

a-1

(x-

1

x

)（其中a是大于1的常數）
（1）求函數y=f（x）的解析式
（2）探討函數y=f（x）的性質，并利用其性質解不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）設t=log_ax，a＞1，t∈R則x=a^t，代入即可求解函數式子．（2）根據指數函數判斷單調性，在運用奇偶性的定義判斷為奇函數，即可求解1-m²＜m-1，就能夠得到答案．

解答： 解：（1）設t=log_ax，a＞1，t∈R則x=a^t，
∵f（log_ax）=

1

a-1

(x-

1

x

)（其中a是大于1的常數）
∴f（t）=

1

a-1

（a^t-a^-t），（其中a是大于1的常數）
∴函數y=f（x）=

1

a-1

（a^x-a^-x），（a＞1，常數）
（2）∵f（-x）=）=

1

a-1

（a^-x-a^x）=-f（x），（a＞1，常數）
∴f（x）為奇函數，
∵x₁＜x₂，a x1＜ax2，a -x1＞a -x2，
∴a x1-ax2＜0，a -x1-a -x2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

1

a-1

（（a x1-ax2）-（a -x1-a-x2））＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數y=f（x）=

1

a-1

（a^x-a^-x），（a＞1，常數）單調遞增函數．
∵不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．
∴1-m²＜m-1，
m²+m-2＞0，
即m＞1或m＜-2，
故不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0的解集為：（-∞，-2）∪（1，+∞）

點評：本題考察了指數函數的單調性，復合函數的奇偶性，單調性，運用解決不等式，屬于中檔題．