Question

函數f（x）的定義域為D={x|x≠0}，且滿足對于任意x₁，x₂∈D，有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當x＞1時，f（x）＞0．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（Ⅱ）求證f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（Ⅲ）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數單調性的性質,函數奇偶性的判斷

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）函數f（x）為偶函數．令x₁=x₂=-1，求得f（-1）=0，再令x₁=-1，x₂=x，即可得證；
（Ⅱ）運用單調性的定義證明，任取x₁＜x₂，且x₁，x₂∈（0，+∞），即有f(

x2

x1

)＞0，再結合條件，即可得證；
（Ⅲ）由f（4）=1，求得f（64）=3，再由奇偶性和單調性，即可得到不等式|（3x+1）（2x-6）|≤64，且3x+1≠0且2x-6≠0，解出即可得到x的取值范圍．

解答： （Ⅰ）解：函數f（x）為偶函數．
理由如下：令x₁=x₂=-1，
則f（1）=f（-1）+f（-1）⇒2f（-1）=0⇒f（-1）=0，
再令x₁=-1，x₂=x，
則f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），
故函數f（x）為偶函數；
（Ⅱ）證明：任取x₁＜x₂，且x₁，x₂∈（0，+∞）
則f(x2)=f(x1•

x2

x1

)=f(x1)+f(

x2

x1

)
∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)∵0＜x₁＜x₂∴f(

x2

x1

)＞0∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₁）＜f（x₂）∴f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（Ⅲ）由于f（4）=1，可得f（16）=2f（4）=2，f（64）=f（4）+f（16）=3，
由于f（x）在（0，+∞）上是增函數，則f（x）在（-∞，0）上是減函數
則f（3x+1）+f（2x-6）≤3即為f（（3x+1）（2x-6））≤f（64），
即有f（|（3x+1）（2x-6）|）≤f（64），
則有|（3x+1）（2x-6）|≤64，且3x+1≠0且2x-6≠0，

3x2-8x+29≥0 3x2-8x-35≤0 x≠3且x≠- 1 3

即有

x∈R - 7 3 ≤X≤5 X≠3且x≠- 1 3

，
則有x的取值范圍是：[-

7

3

，-

1

3

）∪（-

1

3

，3）∪（3，5）．

點評：本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷和證明，以及運用：解不等式，考查運算能力，屬于中檔題．