Question

已知以點P到兩定點M（-1，0）、N（1，0）距離的比為

2

，點N到直線PM的距離為1，求直線PN的方程．

Answer 1

考點：直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：設P（x，y），由于點P到兩定點M（-1，0）、N（1，0）距離的比為

2

，可得

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=

2

，化為（x-2）²+y²=3．設PM的直線方程為：y=k（x+1），根據點N到直線PM的距離為1，可得

|k+k|

k2+1

=1，解得k=±

3

3

．與圓的方程聯立可得交點的坐標，再利用點斜式即可得出．

解答： 解：設P（x，y），∵點P到兩定點M（-1，0）、N（1，0）距離的比為

2

，
∴

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=

2

，
化為（x-2）²+y²=3．
設PM的直線方程為：y=k（x+1），
∵點N到直線PM的距離為1，
∴

|k+k|

k2+1

=1，解得k=±

3

3

．
聯立

y=± 3 3 (x+1) (x-2)2+y2=3

，
解得

x= 7+ 33 4 y=± 11 3 +3 11 12

或

x= 7- 33 4 y=± 11 3 -3 11 12

．
∴直線PN的方程分別為：
y=±

11 3 +3 11

9+3 33

(x-1)，y=±

11 3 -3 11

9-3 33

(x-1)．

點評：本題考查了直線與圓相交問題、直線的點斜式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．