Question

（a₁+a₂）（b₁+b₂+b₃）（c₁+c₂+c₃+c₄）展開式中，形如a_xb_xc_x的項稱為同序項，形如a_xb_xc_y，a_xb_yc_x，a_yb_xc_x（x≠y）的項稱為次序項，如a₂b₂c₂q是一個同序項，a₁b₁c₃是一個次序項．從展開式中任取兩項，恰有一個同序項和一個次序項的概率為

 

．

Answer 1

考點：古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統計

分析：根據多項式的乘法法則，分析易得在（a₁+a₂）中有2種取法，在（b₁+b₂+b₃）中有3種取法，在（c₁+c₂+c₃+c₄）中有4種取法，進而由分步計數原理計算可得總事件的個數．運用分步計數原理得出同序項為：a₁b₁c₁，a₂b₂c₂共2個，序號都不相同的為：

C

1 2

×C

1 2

×C

1 2

=8個，再運用你間接法求解得出次序項個數為：24-2-8=14，根據古典概率公式求解即可．

解答： 解：由二項式定理可得，（a₁+a₂）（b₁+b₂+b₃）（c₁+c₂+c₃+c₄）
的結果中每一項都必須是在（a₁+a₂）、（b₁+b₂+b₃）、（c₁+c₂+c₃+c₄）三個式子中任取一項后相乘，得到的式子，
而在（a₁+a₂）中有2種取法，在（b₁+b₂+b₃）中有3種取法，在（c₁+c₂+c₃+c₄）中有4種取法，
由乘法原理，可得共有2×3×4=24種情況，
∴同序項為：a₁b₁c₁，a₂b₂c₂共2個，
序號都不相同的為：

C

1 2

×C

1 2

×C

1 2

=8個，
次序項個數為：24-2-8=14，
∴從展開式中任取兩項，恰有一個同序項和一個次序項的概率為：

C 1 2 ×C 1 14

C 2 24

=

2×14

12×23

=

7

69

，
故答案為：

7

69

點評：本題主要考查二項式定理的應用，分步計數原理求解事件個數的方法，古典概率的求解，屬于中檔題．