Question

已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)及公比都為2的等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足b_n=2ⁿ•log

1

2

an，則使S_n+n•2ⁿ⁺¹=30成立的正整數(shù)n等于（　　）

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)及公比都為2的等比數(shù)列，可得a_n=2ⁿ．b_n=2ⁿ•log

1

2

a_n=-n•2ⁿ，利用“錯(cuò)位相減法”可得S_n，代入解出即可．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)及公比都為2的等比數(shù)列，∴a_n=2ⁿ．
∵滿足b_n=2ⁿ•log

1

2

a_n=-n•2ⁿ，
∴-S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n×2ⁿ，
-2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ--n×2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2．
∵S_n+n•2ⁿ⁺¹=30，
∴2ⁿ⁺¹-2=30，
解得n=4．
∴使S_n+n•2ⁿ⁺¹=30成立的正整數(shù)n=4．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．