Question

在數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，S_n為其前n項和，2S_n=4a_n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足對任意n∈N^*，都有b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_na₁=2ⁿ-

1

2

n-1，求數(shù)列{b_n}的第5項b₅．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推式與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用等比數(shù)列的性質(zhì)、遞推式的意義即可得出．

解答： 解：（1）∵2S_n=4a_n-1，當n=1時，2S1=4a1-1⇒a1=

1

2

，
又由

2Sn=4an-1 2Sn+1=4an+1-1

，
兩式相減得：2a_n+1=4a_n+1-4a_n化為a_n+1=2a_n，
∴數(shù)列{a_n}是以首項為

1

2

，公比為2的等比數(shù)列，
∴an=2n-2．
（2）∵an=2n-2，
由b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_na₁=2ⁿ-

1

2

n-1，①
令n=1，則b₁a₁=2-

1

2

-1，解得b₁=1．
∵b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_na₁=2ⁿ-

1

2

n-1，
當n≥2時，b₁a_n-1+b₂a_n-2+…+b_n-2a₂+b_n-1a₁=2n-1-

1

2

n-

1

2

，
將上式兩邊同乘公比2得，b₁a_n+b₂a_n-1+…b_n-1a₂=2ⁿ-n-1．②
①-②可得：b_na₁=

1

2

n，（n≥2），
∴b₅=5．

點評：本題考查了遞推式與等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．