Question

數列{a_n}中，已知a₁=1，n≥2時，a_n=

1

3

an-1+

2

3n-1

-

2

3

．數列{b_n}滿足：b_n=3^n-1（a_n+1）．
（1）求證：數列{b_n}是等差數列；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據題中的遞推關系式進行恒等變換求出數列是等差數列．
（2）利用（1）的結論，進一步利用所構造的新數列利用乘公比錯位相減法求數列的和．

解答： （1）證明：由an=

1

3

an-1+

2

3n-1

-

2

3

得：3n-1an=3n-2an-1+2-2×3n-2
∴3n-1(an+1)=3n-1an+3n-1=3n-2an-1+2+3n-2=3n-2(an-1+1)+2
即b_n=b_n-1+2⇒b_n-b_n-1=2（n≥2）
又b1=31-1(a1+1)=2
∴數列{b_n}是首項為2，公差為2的等差數列．
（2）解：由（1）知，b_n=2+（n-1）×2=2n，
∴3n-1(an+1)=2n⇒an=

2n

3n-1

-1
記Tn=

2

1

+

4

3

+

6

32

+…+

2n

3n-1

，
則

1

3

Tn=

2

3

+

4

32

+…+

2(n-1)

3n-1

+

2n

3n

兩式相減得：

2

3

Tn=2(1+

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-1

)-

2n

3n

=

2[1-( 1 3 )n]

1- 1 3

-

2n

3n

=3-

2n+3

3n

∴Tn=

9

2

-

2n+3

2×3n-1

因此，Sn=Tn-n=

9

2

-

2n+3

2×3n-1

-n

點評：本題考查的知識要點：利用遞推關系式求出數列是等差數列，并求出數列的通項公式乘公比錯位相減法的應用．屬于基礎題型．