Question

4．記函數f（x）的導數為f^（1）（x），f^（1）（x）的導數為f^（2）（x），…，f^（n-1）（x）的導數為f^（n）（x）（n∈N^*），若f（x）可進行n次求導，則f（x）均可近似表示為：f（x）≈f（0）+$\frac{{{f^{（1）}}（0）}}{1!}x+\frac{{{f^{（2）}}（0）}}{2!}{x^2}+\frac{{{f^{（3）}}（0）}}{3!}{x^3}$+…+$\frac{{{f^{（n）}}（0）}}{n!}{x^n}$，若取n=4，根據這個結論，則可近似估計cos2≈-$\frac{1}{3}$（用分數表示）．

Answer 1

分析 f（x）=cosx，f^（1）（x）=-sinx，f^（2）（x）=-cosx，f^（3）（x）=sinx，f^（4）（x）=cosx，…，可得T=4，代入即可得出．

解答 解：f（x）=cosx，f^（1）（x）=-sinx，f^（2）（x）=-cosx，f^（3）（x）=sinx，f^（4）（x）=cosx，…，∴T=4，
∴當n=4時，f（2）=cos2=f（0）+0×2+$\frac{-1}{2!}×{2}^{2}$+$\frac{0}{3!}×{2}^{4}$=-$\frac{1}{3}$．
故答案為：-$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了導數的運算法則、三角函數的周期性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．