Question

12．如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點． 已知∠BAC=$\frac{π}{2}$，AB=2，AC=2，PA=2．求：
（1）三棱錐P-ABC的體積；
（2）異面直線BC與AD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）先求出△ABC的面積，由此能求出三棱錐P-ABC的體積．
（2）取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，∠ADE是異面直線BC與AD所成的角（或其補角）．由此能求出異面直線BC與AD所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．
∠BAC=$\frac{π}{2}$，AB=2，AC=2，PA=2．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×2=2$，
∴三棱錐P-ABC的體積為V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PA=\frac{1}{3}×2×2=\frac{4}{3}$．
（2）如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，
∴∠ADE是異面直線BC與AD所成的角（或其補角）．
在△ADE中，DE=$\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，
cos$∠ADE=\frac{D{E}^{2}+A{D}^{2}-A{E}^{2}}{2DE•AD}$=$\frac{1}{2}$，
故異面直線BC與AD所成角的余弦值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查三棱錐的體積的求法，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．