Question

17．設函數$f（x）=\frac{1}{2}+{log_2}\frac{x}{1-x}$，${S_n}=\sum_{i=1}^{n-1}{f（\frac{i}{n}）}$，其中n∈N*，且n≥2，則S₂₀₁₄=$\frac{2013}{2}$．

Answer 1

分析 化簡f（$\frac{i}{n}$），利用對數的運算規律計算即可．

解答 解：f（$\frac{i}{n}$）=$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{\frac{i}{n}}{1-\frac{i}{n}}$=$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{i}{n-i}$，
∴${S_n}=\sum_{i=1}^{n-1}{f（\frac{i}{n}）}$=$\frac{1}{2}$×2013+log₂（$\frac{1}{2013}×\frac{2}{2012}×\frac{3}{2011}×$…×$\frac{2013}{1}$）=$\frac{2013}{2}$+log₂1=$\frac{2013}{2}$．
故答案為$\frac{2013}{2}$．

點評 本題考查了對數的運算性質，屬于中檔題．