Question

9．已知函數f（x）=a•lnx+b•x²的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x-y-1=0．
（1）求f（x）的表達式；
（2）若F（x）滿足F（x）＜G（x）恒成立，則稱F（x）是G（x）的一個“游離承托函數”．
證明：函數g（x）=2af（x+t），t∈R且t≤2，是函數h（x）=e^x+f（x+t）的一個“游離承托函數”．

Answer 1

分析 （1）求導數，利用函數f（x）=a•lnx+b•x²的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x-y-1=0，求出a，b，即可求f（x）的表達式；
（2）由題要證函數g（x）=2f（x+t），t∈R且t≤2，是函數h（x）=e^x+f（x+t）的一個“游離承托函數”，只要證明當t≤2時，g（x）＜h（x）在公共定義域上恒成立．

解答 （1）解：當x=1時，y=0，代入f（x）=a•lnx+b•x²得b=0，…（1分）
所以f（x）=a•lnx，f′（x）=$\frac{a}{x}$…（3分）
由切線方程知f′（1）=1，所以a=1，故f（x）=lnx．…（5分）
（2）證明：由題要證函數g（x）=2f（x+t），t∈R且t≤2，是函數h（x）=e^x+f（x+t）的一個“游離承托函數”，
只要證明當t≤2時，g（x）＜h（x）在公共定義域上恒成立，即證明：
當t≤2時，h（x）-g（x）=e^x-ln（x+t）對于x＞-t恒成立，
由于t≤2，x+t≤x+2，ln（x+t）≤ln（x+2），e^x-ln（x+t）≥e^x-ln（x+2），
只要證明：e^x-ln（x+2）＞0對于x＞-2恒成立即可．…（6分）
證明：令y=e^x-ln（x+2），x＞-2，
則y′=e^x-$\frac{1}{x+2}$，
令k（x）=e^x-$\frac{1}{x+2}$，則k′（x）=e^x+$\frac{1}{（x+2）^{2}}$＞0，
∴y′=e^x-$\frac{1}{x+2}$在（-2，+∞）上單調遞增，且k（-1）=$\frac{1}{e}$-1＜0，k（0）=1-$\frac{1}{2}$＞0
∴?x₀∈（-1，0），使得k（x₀）=0成立，…（8分）
當x∈（-2，x₀）時，y′＜0，y=e^x-ln（x+2）單調遞減；
當x∈（x₀，+∞）時，y′＞0，y=e^x-ln（x+2）單調遞增；
∴y_min=${e}^{{x}_{0}}$-ln（x₀+2），…（9分）
又由k（x₀）=0，得${e}^{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}+2}$，且x₀=-ln（x₀+2）…（10分）
∴y_min=${e}^{{x}_{0}}$-ln（x₀+2）=$\frac{（{x}_{0}+1）^{2}}{{x}_{0}+2}$＞0，…（11分）
∴e^x-ln（x+2）＞0對于x＞-2恒成立
∴函數函數g（x）=2f（x+t），t∈R且t≤2，是函數h（x）=e^x+f（x+t）的一個“游離承托函數”，得證．…（12分）

點評 本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及函數恒成立問題等基礎題知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，分類討論思想，屬于難題．