Question

19．△ABC兩個頂點A、B的坐標分別是（-1，0）、（1，0），邊AC、BC所在直線的斜率之積是-4．
（1）求頂點C的軌跡方程；
（2）求直線2x-y+1=0被此曲線截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）利用邊AC、BC所在直線的斜率之積是-4，建立方程，即可求頂點C的軌跡方程；
（2）利用弦長公式求直線2x-y+1=0被此曲線截得的弦長．

解答 解：（1）設C（x，y），由${k_{AC}}=\frac{y}{x+1}，{k_{BC}}=\frac{y}{x-1}，（x≠±1）$…（4分）
由${k_{AC}}•{k_{BC}}=\frac{y}{x+1}•\frac{y}{x-1}=-4$…（6分）
化簡可得4x²+y²=4…（8分）
所以頂點C的軌跡方程為4x²+y²=4（x≠±1）…（9分）
（2）設直線2x-y+1=0與曲線4x²+y²=4（x≠±1）相交于點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}4{x^2}+{y^2}=4\\ 2x-y+1=0\end{array}\right.$化為8x²+4x-3=0則${x_1}+{x_2}=-\frac{1}{2}，{x_1}{x_2}=-\frac{3}{8}$，…（14分）
弦長$d=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}$=$\sqrt{（1+{2^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}$=$\sqrt{5[{{（-\frac{1}{2}）}^2}-4×（-\frac{3}{8}）]}=\frac{{\sqrt{35}}}{2}$
所以直線2x-y+1=0被曲線4x²+y²=4（x≠±1）截得的弦長為$\frac{{\sqrt{35}}}{2}$．…（17分）

點評 本題考查直接法求軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查弦長公式，屬于中檔題．