Question

7．已知P，Q為橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$上的兩點，滿足PF₂⊥QF₂，其中F₁，F₂分別為左右焦點．
（1）求$|\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}|$的最小值；
（2）若$（\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}）⊥（\overrightarrow{Q{F_1}}+\overrightarrow{Q{F_2}}）$，設直線PQ的斜率為k，求k²的值．

Answer 1

分析 （1）通過$\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}=2\overrightarrow{PO}$（O為坐標原點），推出$|\overrightarrow{PO}{|_{min}}=1$，即可求$|\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}|$的最小值．
（2）利用OP⊥OQ．推出線段PQ中點的橫坐標為$\frac{1}{2}$．設直線PQ的方程為y=kx+b，聯立直線與橢圓方程組，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韋達定理，推出1+2k²=-4kb，①通過x₁x₂+y₁y₂=0，求出 4k²b²+2k³b-2k²+3b²+kb-2=0，②，然后求解即可．

解答 （本題滿分15分）
解：（1）因為$\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}=2\overrightarrow{PO}$（O為坐標原點），
顯然$|\overrightarrow{PO}{|_{min}}=1$，
所以$|\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}|$的最小值為2．                …（5分）
（2）由題意，可知OP⊥OQ．
又F₂P⊥F₂Q，所以PQ是兩個直角三角形POQ和PF₂Q的公共斜邊，即得線段PQ的中點到O，F₂兩點的距離相等，即線段PQ中點的橫坐標為$\frac{1}{2}$．
設直線PQ的方程為y=kx+b，聯立橢圓方程，得
（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{4kb}{{1+2{k^2}}}$．
又因為 x₁+x₂=1，
所以 1+2k²=-4kb，①
另一方面，x₁x₂=$\frac{{2{b^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$，y₁y₂=$\frac{{2{k^2}{b^2}-2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}+kb+{b^2}$．
由x₁x₂+y₁y₂=0，得$\frac{{2{b^2}-2}}{{1+2{k^2}}}+\frac{{2{k^2}{b^2}-2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}+kb+{b^2}=0$，
即 4k²b²+2k³b-2k²+3b²+kb-2=0，②
由①②，得-20k⁴-20k²+3=0，解之得${k^2}=\frac{{-5+2\sqrt{10}}}{10}$．…（15分）

點評 本題考查直線與橢圓位置關系的綜合應用，向量在幾何中的應用，考查轉化思想以及計算能力．