Question

10．已知函數f（x）定義在區間（-1，1）內，對于任意的x，y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$），且當x＜0時，f（x）＞0．
（1）判斷這樣的函數是否具有奇偶性和單調性，并加以證明；
（2）若f（-$\frac{1}{2}$）=1，求方程f（x）+$\frac{1}{2}$=0的解．

Answer 1

分析 （1）分別令x=y=0，求得f（0）=0，令y=-x，結合奇偶性定義即可判斷；再由單調性的定義，即可得到f（x）在區間（-1，1）內是減函數；
（2）運用奇函數的定義，可令y=x，結合單調性，可得方程$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，即可得到方程的解．

解答 解：（1）令x=y=0，則f（0）=0，令y=-x，則f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x），即函數f（x）為奇函數．
任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$）．
-1＜x₁＜x₂＜1，可得-1＜x₁x₂＜1，則$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，則f（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）．則f（x）在區間（-1，1）內是減函數．------------（6分）
（2）f（x）為奇函數，則f（$\frac{1}{2}$）=-1，
又2f（x）=f（x）+f（x）=f（$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$），且f（x）+$\frac{1}{2}$=0，
即2f（x）+1=0，2f（x）=-1．則f（$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$）=f（$\frac{1}{2}$）．
f（x）在區間（-1，1）內是單調函數，
可得$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}$．
即x=2-$\sqrt{3}$或x=2+$\sqrt{3}$（舍）．
故方程的解為2-$\sqrt{3}$．------------（12分）

點評 本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷和應用，注意運用定義法，考查推理和運算能力，屬于中檔題．