Question

3．已知橢圓的中心在原點，焦點在y軸上且長軸長為4，短軸長為2，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=m+2t}\end{array}\right.$ （t為參數）．
（1）求橢圓方程；
（2）當m為何值時，直線l被橢圓截得的弦長為$\sqrt{6}$？

Answer 1

分析 求出橢圓的方程，化簡直線的參數方程與標準形式，代入橢圓方程利用韋達定理以及弦長公式求解即可．

解答 解：橢圓的中心在原點，焦點在y軸上且長軸長為4，短軸長為2，
橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1，化直線參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=m+2t}\end{array}\right.$ 為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{5}}{5}t′}\\{y=m+\frac{2\sqrt{5}}{5}t′}\end{array}\right.$（t′為參數）．
代入橢圓方程得
（m+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$t′）²+4（$\frac{\sqrt{5}}{5}$t′）²=4?8t′²+4$\sqrt{5}$mt′+5m²-20=0
當△=80m²-160m²+640=640-80m²＞0，
即-2$\sqrt{2}$＜m＜2$\sqrt{2}$．
方程有兩不等實根t′₁，t′₂，
則弦長為|t′₁-t′₂|=$\sqrt{（t{′}_{1}+t{′}_{2}）^{2}-4t{′}_{1}t{′}_{2}}$=$\frac{\sqrt{640-80{m}^{2}}}{8}$
依題意知=$\frac{\sqrt{640-80{m}^{2}}}{8}$=$\sqrt{6}$，解得m=±$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法，直線與橢圓的位置關系的應用，考查計算能力．