Question

11．已知拋物線C：y²=4x，過點A（1，2）作拋物線的弦AP，AQ，若AP⊥AQ，證明：直線PQ過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

分析 設直線PQ方程，代入拋物線方程，根據韋達定理及向量的坐標運算，求得P點坐標，即可求得n=-2m+1或n=2m+5，由△＞0求得n=2m+5，代入PQ方程，即可求得直線PQ過定點．

解答 解：設PQ：x=my+n，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），$\left\{\begin{array}{l}x=my+n\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，
∴y²-4my-4n=0，由△＞0恒成立得m²+n＞0恒成立，①
y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4n，
又$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{AP}=0$得（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-2）（y₂-2）=0，
又${x_1}=\frac{y_1^2}{4}$，${x_2}=\frac{y_2^2}{4}$，得（y₁-2）（y₂-2）[（y₁+2）（y₂+2）+16]=0，
∴（y₁-2）（y₂-2）=0或（y₁+2）（y₂+2）+16=0，
∴n=-2m+1或n=2m+5，
由①知n=2m+5，
∴PQ：x-5=m（y+2），
所以直線PQ過定點（5，-2）．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，韋達定理，向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．