Question

1．已知函數f（x）=$\frac{2kx}{{x}^{2}+6k}$（k＞0）
（1）若f（x）＞m的解集為{x|x＜-3，或x＞-2}，求不等式5mx²+kx+3＞0的解集；
（2）若任意x≥3，使得f（x）＜1恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得mx²-2kx+6km＜0的解集為{x|x＜-3，或x＞-2}，可得-3，-2是方程mx²-2kx+6km=0的根，運用韋達定理可得k，m，再由二次不等式的解法可得解集；
（2）討論x=3，不等式顯然成立；當x＞3時，運用參數分離可得k＜$\frac{{x}^{2}}{2x-6}$恒成立，令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{2x-6}$，x＞3，則k＜g（x）_min，運用換元法和基本不等式可得最小值，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）f（x）＞m?$\frac{2kx}{{x}^{2}+6k}$＞m?mx²-2kx+6km＜0，
由不等式mx²-2kx+6km＜0的解集為{x|x＜-3，或x＞-2}，
∴-3，-2是方程mx²-2kx+6km=0的根，
可得$\frac{2k}{m}$=-5，6k=-2×（-3），
解得k=1，m=-$\frac{2}{5}$，
不等式5mx²+kx+3＞0?2x²-x-3＜0?-1＜x＜$\frac{3}{2}$，
可得不等式5mx²+kx+3＞0的解集為（-1，$\frac{3}{2}$）；
（2）f（x）＜1?$\frac{2kx}{{x}^{2}+6k}$＜1?x²-2kx+6k＞0?（2x-6）k＜x²，
任意x≥3，使得f（x）＜1成立，x=3時，f（x）＜1恒成立；
當x＞3，使得k＜$\frac{{x}^{2}}{2x-6}$恒成立，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{2x-6}$，x＞3，則k＜g（x）_min，
令2x-6=t，則t＞0，x=$\frac{t+6}{2}$，
y=$\frac{（\frac{t+6}{2}）^{2}}{t}$=$\frac{t}{4}$+$\frac{9}{t}$+3≥2$\sqrt{\frac{t}{4}•\frac{9}{t}}$+3=6，
當且僅當$\frac{t}{4}$=$\frac{9}{t}$即t=6即x=6時等號成立．
可得g（x）_min=g（6）=6，
則k＜6，
即k的取值范圍為（0，6）．

點評 本題考查二次不等式的解法，注意運用二次方程的韋達定理，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論思想方法和參數分離法、換元法，結合基本不等式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．