Question

12．P是拋物線y=x²上的動點，Q是直線2x-y-4=0上的動點，則|PQ|的最小值為（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 設與直線2x-y-4=0平行切與拋物線相切的直線為y=2x+b則可知|PQ|的最小值即為兩直線的距離．直線方程y=2x+b與拋物線方程聯立，消去y根據判別式等于0求得b，進而求得直線與拋物線的切點，最后根據點到直線的距離公式求得答案．

解答 解：設與直線2x-y-4=0平行且與拋物線相切的直線為y=2x+b則可知|PQ|的最小值即為兩直線間的距離．
則$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+b}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$消去y得x²-2x-b=0，△=4+4b=0
∴b=-1，進而可得直線y=2x-1與拋物線交點為（1，1）
交點到直線2x-y-4=0的距離為：$\frac{|2-1-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
故選：A．

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．常涉及直線與圓錐曲線聯立方程，根據判別式來判斷直線與圓錐曲線的關系．