Question

函數f（x）=∫

x 0

t（t-4）dt在（0，5]上的最小值為

 

．

Answer 1

考點：定積分

專題：導數的概念及應用

分析：首先由不定積分的基本求法求出f（x）的函數表達式

1

3

x³-2x²，對函數求導，利用導數求研究函數在（0，5]上的單調性，判斷出函數的最小值位置，代入算出結果

解答： 解：f（x）=∫₀^xt（t-4）dt=∫₀^x（t²-4t）dt=（

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3

t³-2t²）|₀^x=

1

3

x³-2x²，
∴f′（x）=x²-4x，
令f′（x）=0，
∵x∈（0，5]，
∴x=4，
當f′（x）＞0，即4＜x≤5時，函數單調遞增，
當f′（x）＜0，即0＜x＜4時，函數單調遞減，
∴當x=4時，f（x）_min=f（4）=

1

3

×4³-2×4²=-

32

3

故答案為：-

32

3

點評：本題考查積分的基本求法，以及利用導數研究函數的單調性求最值，屬于基礎題．