Question

已知函數f（x）=

1

a

x²-2x-b（a＞

1

2

）
（1）若f（x）在[2，+∞）上是單調函數，求a的取值范圍；
（2）若f（x）在[-2，3]上的最大值為6，最小值為-3，求a，b的值．

Answer 1

考點：函數單調性的性質,函數的最值及其幾何意義

專題：分類討論,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）配方求得對稱軸x=a，可得f（x）在[a，+∞）遞增，在（-∞，a）遞減．由題意可得f（x）在[2，+∞）上是單調遞增函數，即可得到a的范圍；
（2）對a討論，①

1

2

＜a≤3時，②a＞3時，判斷對稱軸和區間的關系，考慮兩端點的函數值的大小，結合函數的單調性，得到a，b的方程，解得即可．

解答： 解：（1）函數f（x）=

1

a

x²-2x-b（a＞

1

2

）
即為f（x）=

1

a

（x-a）²-b-a，
在[a，+∞）遞增，在（-∞，a）遞減．
由f（x）在[2，+∞）上是單調函數，即為遞增函數，
則有

1

2

＜a≤2；
（2）由于f（x）=

1

a

（x-a）²-b-a，對稱軸為x=a，
①

1

2

＜a≤3時，最小值為f（a）=a-2a-b=-b-a=-3，
由f（3）=

9

a

-6-b，f（-2）=

4

a

+4-b，f（3）-f（-2）=

5

a

-10=

5-10a

a

，
當a＞

1

2

時，f（3）＜f（-2）．
即有最大值f（-2）=

4

a

+4-b=6，
解得a=1，b=2或a=4，b=-1（舍去）；
②a＞3時，[-2，3]為減區間，
最小值f（3）=

9

a

-6-b=-3，
最大值f（-2）=

4

a

+4-b=6，
解得a=5，b=-

6

5

．
綜上可得，a=1，b=2或a=5，b=-

6

5

．

點評：本題考查二次函數的單調性的判斷和運用，主要考查二次函數的對稱軸和區間的關系，運用分類討論的思想方法是解題的關鍵．