Question

若數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，求通項a_n．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：根據數列的遞推關系，求出當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ，利用作差法，構造等差數列，結合等差數列的通項公式進行求解即可…

解答： 解：∵S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，
∴當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ，
兩式相減得S_n-S_n-1=2a_n-2ⁿ⁺¹-（2a_n-1-2ⁿ），
即a_n=2a_n-2ⁿ⁺¹-2a_n-1+2ⁿ=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，
則a_n-2a_n-1-2ⁿ=0，
即a_n=2a_n-1+2ⁿ，
等式兩邊同時除以2ⁿ得，

an

2n

=

2an-1

2n

+

2n

2n

=

an-1

2n-1

+1，
即

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，
即數列{

an

2n

}是以1為公差的等差數列，首項為

a1

2

，
當n=1時，S₁=2a₁-2²=a₁，解得即a₁=4，則數列{

an

2n

}首項為

a1

2

=

4

2

=2，
則

an

2n

=2+（n-1）×1=n+1，
則a_n=2ⁿ•（n+1）．
故數列的通項公式為a_n=2ⁿ•（n+1）．

點評：本題主要考查數列的通項公式的求解，根據數列的遞推關系，利用作差法，利用構造法構造等差數列是解決本題的關鍵．