Question

存在直線x=±m與雙曲線相交于A，B，C，D四點，若四邊形ABCD是正方形，則雙曲線離心率的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據題意，雙曲線與直線y=±x相交且有四個交點，由此得

b

a

＞1，結合雙曲線的基本量的平方關系和離心率的定義，化簡整理即得該雙曲線的離心率的取值范圍．

解答： 解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴對角線AC、BD所在直線是各象限的角平分線，
因此，直線y=±x與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1有四個交點，
∴雙曲線的漸近線y=±

b

a

x，滿足

b

a

＞1，
即b＞a，平方得：b²＞a²，c²-a²＞a²，可得c²＞2a²，
兩邊都除以a²，得

c2

a2

＞2，即e²＞2，
∴e＞

2

，即雙曲線的離心率的取值范圍是（

2

，+∞），
故答案為：（

2

，+∞）．

點評：本題給出雙曲線上四個點構成以原點為中心的正方形，求它的離心率取值范圍，著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．