Question

已知

1

1+x

≤1-

1

2

x+

1

4

x²，x∈[0，+∞），證明不等式恒不成立．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：求出當x∈[0，+∞）時，1-

1

2

x+

1

4

x²的最小值

3

4

，

1

1+x

的最大值1，取x=

1

2

，計算即可判斷不等式恒不成立．

解答： 證明：當x∈[0，+∞）時，
1-

1

2

x+

1

4

x²=

1

4

（x²-2x+4）=

1

4

[（x-1）²+3]，
當x=1時，取得最小值

3

4

．此時

1

1+x

=

2

2

，有

2

2

＜

3

4

；

1

1+x

當x=0時，取得最大值1，此時1-

1

2

x+

1

4

x²=1，有1≤1；
當x=

1

2

時，

1

1+x

=

6

3

，1-

1

2

x+

1

4

x²=

13

16

，即有

6

3

＞

13

16

．
則有不等式在x∈[0，+∞]恒不成立．

點評：本題考查不等式恒不成立問題，主要考查轉化思想，求出函數的最值是解題的關鍵．