Question

11．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x）+f（2-x）=4，設f（x）的導函數(shù)為f′（x），?x∈R總有f′（x）＜f（x）成立，則不等式f（x）＞2e^x+3的解集為{x丨x＜-3}．

Answer 1

分析 由題意可知：根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得f（x）=f（x+4），則函數(shù)f（x）為周期為4的函數(shù)，f（3）=f（-1），即可求得f（-3）=f（3）=2，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導，由題意可知：g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$單調(diào)遞減，則不等式轉(zhuǎn)化成$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＞2e³=$\frac{f（-3）}{{e}^{-3}}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得不等式的解集．

解答 解：f（x）+f（2-x）=4，則f（-1）+f（3）=4，
由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），
則f（-x）+f（2-x）=4，
∴f（x）+f（2+x）=4，$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+f（x+2）=4}\\{f（x+2）+f（x+4）=4}\end{array}\right.$，
∴f（x）=f（x+4），
∴函數(shù)f（x）為周期為4的函數(shù)，f（3）=f（-1），
∴f（-3）=f（3）=2，
設g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
由?x∈R總有f′（x）＜f（x）成立，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0恒成立，
∴g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$單調(diào)遞減，
f（x）＞2e^x+3，則$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＞2e³=$\frac{f（-3）}{{e}^{-3}}$，
∴x＜-3，
∴不等式f（x）＞2e^x+3的解集{x丨x＜-3}，
故答案為：{x丨x＜-3}．

點評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性求出函數(shù)的周期性以及構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關鍵，屬于難題．