Question

19．實驗杯足球賽采用七人制淘汰賽規則，某場比賽中一班與二班在常規時間內戰平，直接進入點球決勝環節，在點球決勝環節中，雙方首先輪流罰點球三輪，罰中更多點球的球隊獲勝；若雙方在三輪罰球中未分勝負，則需要進行一對一的點球決勝，即雙方各派出一名隊員罰點球，直至分出勝負；在前三輪罰球中，若某一時刻勝負已分，尚未出場的隊員無需出場罰球（例如一班在先罰球的情況下，一班前兩輪均命中，二班前兩輪未能命中，則一班、二班的第三位同學無需出場），由于一班同學平時踢球熱情較高，每位隊員罰點球的命中率都能達到0.8，而二班隊員的點球命中率只有0.5，比賽時通過抽簽決定一班在每一輪都先罰球．
（1）定義事件A為“一班第三位同學沒能出場罰球”，求事件A發生的概率；
（2）若兩隊在前三輪點球結束后打平，則進入一對一點球決勝，一對一點球決勝由沒有在之前點球大戰中出場過的隊員主罰點球，若在一對一點球決勝的某一輪中，某隊隊員射入點球且另一隊隊員未能射入，則比賽結束；若兩名隊員均射入或者均射失點球，則進行下一輪比賽．若直至雙方場上每名隊員都已經出場罰球，則比賽亦結束，雙方用過抽簽決定勝負，以隨機變量X記錄雙方進行一對一點球決勝的輪數，求X的分布列與數學期望．

Answer 1

分析 （1）根據相互獨立事件同時發生的概率公式，計算一班第三位同學沒能出場罰球的概率值；
（2）根據題意知隨機變量X的可能取值，計算對應的概率值，寫出隨機變量X的分布列，計算數學期望值．

解答 解：（1）定義事件A為“一班第三位同學沒能出場罰球”，
則事件A發生的概率為
P（A）=0.8×0.5×0.8×0.5+0.2×0.5×0.2×0.5=0.17；
（2）隨機變量X的可能取值為1，2，3，4；
計算P（X=1）=0.8×0.5+0.2×0.5=0.5，
P（X=2）=（1-P（X=1））×P（X=1）=0.25，
P（X=3）=（1-P（X=1））²×P（X=1）=0.125，
P（X=4）=（1-P（X=1））³=0.125；
所以隨機變量X的分布列是：

X	1	2	3	4
P（X）	0.5	0.25	0.125	0.125

數學期望是E（X）=1×0.5+2×0.25+3×0.125+4×0.125=1.875（輪）．

點評 本題考查了古典概型的概率計算問題，也考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題，是中檔題．