Question

11．二項式（2$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）ⁿ展開式中所有二項式系數和為64，展開式中的常數項為-160，則a=1．

Answer 1

分析 由題意可得二項式（2$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）ⁿ展開的二項式系數和為64為2ⁿ=64，求得n=6，利用二項展開式（2$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）ⁿ的通項公式，再令x的冪指數等于零，求得r的值，可得二項展開式（2$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）ⁿ的常數項為-160即可求出a的值．

解答 解：二項式（2$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）ⁿ展開的二項式系數和為64，即2ⁿ=64，可得n=6．
二項展開式（2$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）ⁿ的通項公式T_r+1=${C}_{6}^{r}{2}^{6-r}{x}^{\frac{6-r}{2}}（-a）^{r}{x}^{-\frac{r}{2}}$．
令$\frac{6-r}{2}-\frac{r}{2}=0$可得常數項，此時r=3．
那么．常數項為${C}_{6}^{3}{2}^{3}（-a）^{3}$=-160．
解得：a=1．
故答案為：1．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數的性質，二項式展開式的通項公式，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．